Das Ganze ist im Grunde genommen ein fauler Zinnober. Du musst es nur faktorisieren
x * y = ( x + 3 ) ( y + 3 ) - 3 ( 1 )
In Worten:
" Vor der Multiplikation verschiebst du um 3 Einheiten nach Rechts; hinterher ziehst du die 3 wieder ab. "
Wie man darauf kommt? Ich nenne es mal " hyperbolische Ergänzung " ( HE ) in Analogie zur quadratischen Ergänzung. Denn deine Formel stellt eine ===> quadratische Form dar, das ist immer ein ===> Kegelschnitt, in unserem Fall eine ===> Hyperbel.
( x + a ) ( y + b ) = x y + b x + a y + a b = ( 2a )
= x y + 3 x + 3 y + 6 ( 2b )
Durch Koeffizientenvergleich erhalten wir a = b = 3 ; die korrekte HE auf a b ist ( - 3 )
Wir werden uns unten noch näher mit dem Assoziativgesetz ( AG ) zu befassen haben; da brauchst du nämlich genau die Umformung ( 1 ) Hier wird nämlich ganz schön geschludert; wenn man einmal bedenkt, wie schwer die Ungleichungen sind, die ihr häufig in der Analysis selber erraten sollt. Warum erlassen euch die Profs die Prüfung auf AG ? Ich will dir sagen warum; mir Frankfotter kenne da en Witz iwwer de ===> Affetorplatz in ===> Sachsehause . Wer DU bis unn was dein Prof für aanen is.
Sitzt e klaa Äffsche uff ' eine Palm; unn rings im Urwald kimmt e Riese konzentrisch Feuerwalz uff des Äffsche auf zu . Wie kann sisch des Äffsche in Sischerheit bringe?
Antwott: Ei woher soll ' s dann des klaa Äffsche wisse, wann ' s de große Aff net weiß?
Woher ICH die HE kenne? Geniale Erfindung mein Lieber . An Neujahr 2015 kam in dem Konkurrenzportal ===> Ly cos die listige Frage
" Gesucht die Lösungsmenge für alle x ; y € |Z
x y + x + y = 2015 ( 3 )
Wie so oft, gibt dir Wolfram nur eine Teillösung, aber keinen allgemeinen Ansatz. Meine Antwort wurde gar nicht verstanden
" Bestimme halt alle Teiler von 2016 : für 2 * 1008 kriegst du x = 1 ; y = 1 007 . "
" Aber 1 007 ist doch kein Teiler von 2 016 . . . "
Mein Chef witzelte unablässig
" Alle Konstanten sind variabel. "
Für wirklich Intressant halte ich die Frage - und ich kenne die Antwort noch nicht - ist ( 4 ) eine Gruppe?
x * y := ( x - k1 ) ( y - k2 ) - k3 , k1;2;3 € |R ( 4 )
Beginnen wir mit dem Kommutativgesetz:;
x * y = y * x ( 5a )
( x - k1 ) ( y - k2 ) = ( y - k1 ) ( x - k2 ) ( 5b )
Da ( 5b ) identisch für alle x erfüllt ist, dürfen wir nach x ableiten:
y - k2 = y - k1 ===> k1 = k2 ( 5c )
Allerdings dürfen wir den Vorteil ( 5c ) nicht nutzen, da ja die intressantesten Gruppen nach wie vor die nicht kommutativen sind. Aus Gründen, die unten klar werden, machen wir jetzt erst mal das neutrale Element. Streng genommen sprechen die Gruppenaxiome von MINDESTENS einem LINKSneutralen e ; mehr wird explizit nicht ausgesagt.
e * a = ( e - k1 ) ( a - k2 ) - k3 = a ( 6a )
Abermals ist Ableiten nach a zulässig.
e - k1 = 1 ===> e = k1 + 1 ( 6b )
Machen wir die Probe auf ( 6a )
a - k2 - k3 = a ===> k3 = - k2 ( 6c )
x * y = ( x - k1 ) ( y - k2 ) + k2 ( 6d )
In einer Gruppe muss das Linksneutrale aber auch gleichzeitig rechtsneutral sein.
a * e = ( a - k1 ) ( e - k2 ) + k2 = a ( 7a )
Ableiten analog ( 6b )
e = k2 + 1 ===> k1 = k2 ( 7b )
Damit erweist sich die einparametrige Form ( 5c ) als die allgemeinst mögliche.
x * y = ( x - k ) ( y - k ) + k ( 7c )
Der Rest der Untersuchung ( Inverse , AG , Abgeschlossenheit ) lässt sich entscheidend abkürzen. Mit ( |R ; k ) bezeichne ich die reellen Zahlen unter der Multiplikation ( 7c ) Dann entspricht die gewöhnliche, " kanonische " Multiplikation ( |R ; 0 ) Sei
ß ( k ) : ===> |R ===> |R ( 8a )
x ===> x + k ( 8b )
ß ( k ) ist schlicht und ergreifend ein Algebra-Isomorphismus von |R nach |R ( k ) ( Eigenleistung; überlege dir, was alles zu zeigen ist. ) Demnach sind alle |R ( k ) im Wesentlichen das Selbe.
Manchmal hilft ja die Anschauung weiter. Stell dir vor, du hast zwei Kopien des Zahlenstrahls; im Hintergrund fest montiert, und die im Vordergrund sei frei beweglich. Jetzt schiebst du den beweglichen Strahl zehn einheiten nach Rechts. Dann steht hinter der 2 die 12 , hinter der 5 die 15 und hinter der 2 X 5 = 10 die 12 * 15 = 20 .
Eine Frucht unseres Isomorphismus ist das AG , obwohl es sich auch elementar nachrechnen ließe. Ich schreibe es kurz an
( x * y ) * z = x * ( y * z ) = ( 9a )
= ( x - k ) ( y - k ) ( z - k ) + k ( 9b )
D.h. bei 4 711 Faktoren baust du den Verschieber bei jedem einzelnen Faktor ein und korrigierst erst am Schluss ( Vergleiche mit den Zahlenstrahlen )
Ein ganz besonderes Interesse in der Polynomalgebra beansprucht ( |R ; - 1 ) Diese meine Entdeckung hatte ich zehn Jahre lang in das Portal " Wer weiß was " gestellt; sie wurde jedoch entgegen meiner Absicht wieder entfernt.
Gehen wir aus von der quadratischen Gleichung
x ² - p x + q = 0 ( 10a )
Diese hat Vieta
p = x1 + x2 ; q = x1 x2 ( 10b )
x1 * x2 = ( x1 + 1 ) ( x2 + 1 ) - 1 = ( 10c )
= x1 x2 + x1 + x2 = q + p ( 10d )
( max Zeichen )
