Zeigen Sie per Induktion über ¨ n, dass für alle ¨ n ≥ 1 gilt: a(kleines)n = 1/n .

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Für  n ∈ N, n ≥ 1 seien an reelle Zahlen, für die folgendes gilt: 

a1 = 1; und an+1 · (an + 1) = an für alle  n ≥ 1. 

Zeigen Sie per Induktion über  n, dass für alle n ≥ 1 gilt: 

an = 1 /n .       *

(?) Anleitung: ” Per Induktion über n“ zeigen bedeutet, dass Sie folgendes zeigen müssen: 

• Die Aussage (*) gilt für  n = 1 (Induktionsanfang). 

• Wenn die Aussage (*) für ein (beliebiges gegebenes)  n gilt, dann gilt sie auch für n + 1 (Induktionsschluss). 

Gefragt 17 Nov 2016 von Gast jf2255

Das ergibt in dieser Darstellung keinen Sinn.

an+1 · (an + 1) = an soll vielleicht an+1 · (an + 1) = an heißen?

Dann ergibt es immer noch keinen Sinn, auch wegen an = 1 /n .

Oder soll es heißen an+1 · (an + 1) = an?

Eig. ist alles so wie es da steht in der Aufgabenstellung. Ich habe nichts verändert

an+1 · (an + 1) = an

 ja es ist so wie du gesagt hast

Hast du mittlerweile eine Lösung gefunden? Ich verzweifele am Beweis....

Leider nicht. Habe nur noch den IA. Bei IS komme ich nicht weiter

Bild Mathematik

Ich komm beim Beweis einfach nicht weiter.

Induktionsvorraussetzung:

1/(n+1) *(1/n + 1)=1/n

Induktionsbehauptung:

1/((n+1)+1)*(1/(n+1) + 1) = 1/(n+1)

Beweis des Induktionsschritt:

1/(n+2)*(1/(n+1) + 1) = ...


Ich weiß, dass ich nun die Induktionsvorraussetzung einsetzen müsste, habe aber keine Idee wie. Habe schon versucht die linke Seite umzuformen, so dass ich teilweise wieder die Induktionsvorraussetzung erhalte um einzusetzen aber ich komm einfach nicht weiter.

Beachte, dass du wenn du kommentieren möchtest nicht die Rubrik "Antwort" wählen solltest. Da merken die Leute, die kommentiert haben, dass du noch etwas sagen möchtest. 

Habe nun deine "Antwort" vor 5 Tagen in einen Kommentar umgewandelt. 

1 Antwort

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Hallo,

$${ a }_{ 1 }=1, { a }_{ n+1 }=\frac { { a }_{ n } }{ { a }_{ n }+1 }\\Behauptung: { a }_{ n }=1/n\\IA: n=1 stimmt\\IV: { a }_{ n }=1/n\\IS:{ a }_{ n+1 }=\frac { { a }_{ n } }{ { a }_{ n }+1 }\\=\frac { \frac { 1 }{ n } }{ \frac { 1 }{ n }+1 }\\=\frac { 1 }{ 1+n }=\frac { 1 }{ n+1 } $$

Beantwortet 22 Nov 2016 von Gast jc2144 Experte XII

Oh man, dass ich auf sowas nicht selber komme... Du hast einfach die Prämisse nach a_n+1 umgestellt. Danke!

Wie kommst du von der vorletzten in die letzte Zeile?

Da wurde mit n erweitert . D.h. oben und unten "mal n" gerechnet. 

Danke! Bin heut morgen auch drauf gekommen, seltsamerweise wurde meine Antwort nicht gepostet... :/

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