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Richtig oder falsch, das ist die Frage ^^

Bild Mathematik

von

Du hast f(x) nicht angegeben.

Stimmt denn die erst Ableitung?

Die erste Ableitung, so viel ich weiß, müsste stimmen

f(x)=e^{ax}/x

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Wir haben die folgende Ableitungen:

$$f(x)=\frac{e^{a}}{x}$$ $$ f'(x)=\frac{ae^{ax}x-e^{ax}}{x^2} =e^{ax}\cdot \frac{ax-1}{x^2}$$ $$ f''(x)= \left (e^{ax}\right )'\cdot \frac{ax-1}{x^2} +e^{ax}\cdot \left (\frac{ax-1}{x^2} \right )'=ae^{ax}\cdot \frac{ax-1}{x^2} +e^{ax}\cdot\frac{ax^2-2x(ax-1)}{x^4} \\ =ae^{ax}\cdot \frac{ax-1}{x^2} +e^{ax}\cdot\frac{ax^2-2ax^2+2x}{x^4}=ae^{ax}\cdot \frac{ax-1}{x^2} +e^{ax}\cdot\frac{-ax^2+2x}{x^4} \\ =ae^{ax}\cdot \frac{ax-1}{x^2} +e^{ax}\cdot\frac{-ax+2}{x^3}=e^{ax}\cdot \left (\frac{a^2x-a}{x^2} +\frac{-ax+2}{x^3} \right ) \\ = e^{ax}\cdot \left (\frac{a^2x^2-ax}{x^3} +\frac{-ax+2}{x^3} \right )=e^{ax}\cdot \frac{a^2x^2-2ax+2}{x^3} $$

Die Nullstelle der ersten Ableitung ist x = 1/a.

Wenn wir das x = 1/a in der zweiten Ableitung einsetzen bekommen wir: $$f''\left (\frac{1}{a}\right )=e^{a\cdot \frac{1}{a}}\cdot \frac{a^2 \cdot \left (\frac{1}{a}\right)^2-2a\cdot \frac{1}{a}+2}{\left (\frac{1}{a}\right )^3}=e\cdot \frac{1-2+2}{\frac{1}{a^3}}=e\cdot a^3$$ Wenn a>0 ist, dann hat die Funktion an der Stelle x = 1/a einen Tiefpunkt und wenn a<0 ist, dann hat die Funktion an der Stelle x = 1/a einen Hochpunkt.

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Die zweite Ableitung lautet:

f ''(x)= eax(a2x2-2ax+2)/x3.

von 54 k

Also wenn ich 1/a einsetzen würde, käme dann a^3 raus. Oder?

Wenn du in der zweiten Ableitung x=1/a setzt, kommt  e·a3 heraus.

+1 Punkt

f ´( x ) = e^{ax} * ( ax -1 )

Stelle mit waagerechter Tangente
ax - 1 = 0
ax = 1
x = 1 / a

Mein Matheprogramm meint
f1 1.Ableitung
f2 2.Ableitung
Extrempunkt 1/a
eingesetzt in die 2.Ableitung

Bild Mathematik

je nach a ( positiv oder negativ ) weist die 2.
Ableitung darauf hin das der Extrempunkt
mal ein Tiefpunkt oder ein Hochpunkt sein
kann.

von 84 k

Da habe ich bei der ersten Funktion " / x^2 " vergessen.

a^3 * e wäre das Ergebnis.

Der Satz von oben

je nach a ( positiv oder negativ ) weist die 2.
Ableitung darauf hin das der Extrempunkt
mal ein Tiefpunkt oder ein Hochpunkt sein
kann.

Müßte aber noch stimmen.

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du hast die Gleichung f(x) nicht angegeben. Sieht soweit aber richtig aus.
LG :)
von

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