0 Daumen
163 Aufrufe

ich habe einen würfel mit 6 Seiten (wie immer halt) und der wird auf jeder seite mit einer anderen farbe bemalt. innen ist der komplett schwarz. jetzt wird der würfel in 3x3x3 würfel (gleich groß) geschnitten und die stücke geschaffelt (also random geschüttelt). wie hoch ist die wahrscheinlichkeit den blind richtig zusammenzusetzen (also das alle farben nach außen zeigen)?

die beste antwort gibt es auch für den, der mir den link zur lösung im internet schickt. ich weiß nämlich dass diese aufgabe irgendwo gelöst wurde (ich weiß nur nicht wo ich das mal gefunden habe). Die aufgabe war glaube ich auf englisch.

Gefragt von 1,3 k

3 Antworten

+3 Daumen
 
Beste Antwort

Den Link habe ich nicht, aber zwei Überlegungen, die zum selben Ergebnis führen.

1.) Die Wahrscheinlichkeit, dass alle Würfel wieder an ihrem richtigen Platz liegen ist \(1/27!\). Um eines der Würfelchen genau in der richtigen Lage zu legen gibt es 24 Möglichkeiten. D.h. für eine einzelne Ecke gibt es 8 und dann kann man den Würfel noch in 3 Positionen um diese Ecke (bzw. Raumdiagonle) rotiert legen - macht \(8\cdot 3=24\). Das macht zusammen: \(1/(27! \cdot 24^{27})\) - bei dem mittleren Würfel im Innern ist es aber egal. D.h. 24 Möglichkeiten würden den selben Würfel mit den Farben nach außen liefern. Bei den 6 Mittensteinen in den Flächen ist es egal, wie sie um die Flächennormale rotert sind - sind \(4^6\) Möglichkeiten und zuletzt ist auch egal wie der richtig zusammen gebaute Würfel liegt - das sind wieder 24 Möglichkeiten - alles zusammen gefasst:

$$p=\frac{1}{27! \cdot 24^{27}} \cdot 24 \cdot 4^6 \cdot 24 = \frac{4^6}{27! \cdot 24^{25}} \approx 1,175 \cdot 10^{-59}$$

2.) Die Wahrscheinlichkeit, dass der innere Würfel an seiner Position erscheint ist \(1/27\). Die Wahrscheinlichkeit, dass einer der \(8\) Ecksteine wieder in einer Ecke landet ist \(8/26\) - bei jetzt 26 verbleibenden Würfeln. Die Wahrscheinlichkeit dass bei dem ersten Eckwürfel die Ecke, an der sich drei Farben treffen, auch außen liegt ist \(1/8\). Ist ein  Eckwürfel positioniert, so liegen die 'richtigen' Positionen aller verbleibender Würfel fest. Die Wahrscheinlichkeit, dass alle in der richtigen Position auftauchen ist \(1/25!\). Bis auf die 6 Flächenmittenwürfel müssen 19 die richtige Lage haben - macht \(1/24^{19}\). Und die Wahrscheinlichkeit, dass bei den \(6\) Flächenmittenwürfel die Farbe jeweils nach außen zeigt, ist \(1/6^6\). Macht:

$$p=\frac{1}{27} \cdot \frac{8}{26} \cdot \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{25!} \cdot \frac{1}{24^{19}} \cdot \frac{1}{6^6}=\frac{1}{27! \cdot 24^{19} \cdot 6^6}$$

Wenn man mit \(4^6\) erweitert, ist der Term mit dem obigen identisch.

Beantwortet von 7,6 k

Hallo Werner,

die Frage überfordert wohl meine Kenntnisse
in Wahrscheinlichkeitsrechnung.
Richtig ist wohl zunächst :
die Wahrscheinlichkeit das der erste Würfel
an seinen Ausgangsort kommt ist 1/27,
für den nächsten Würfel 1/26 usw.
Deine 1 /27! werden wohl stimmen.

Jetzt zu den Farben : bei allen Würfeln
haben die Flächen unterschiedliche Farben.
Es gibt keine identischen Würfel.

Jeder Würfel muß in genau derselben
x,y,,z - Ausrichtung  wieder eingefügt werden.

Jeder Würfel kann in 24 Ausrichtungen
vorkommen.

( 1 / 27! ) * ( 1 / 24 )

Ausnahme ist der mittlere ( Teil- )
Würfel

Wie bekomme ich diesen Fakt in die
Formel ? Und : wie geht es weiter ?

( 1 / 27! ) * ( 1 / 24)
Es muß glaube ich heißen
( 1 / 27! ) * ( 1 / 24^23)

Hi Werner. Vielen Dank für die viele Mühe, die Du hier gemacht hast (anders als andere). Dafür gibt es auf jeden Fall schonma einen Daumen und die beste antwort.

ich habe den missing link mittlerweile gefunden und dein ergebnis kommt dem am nächsten. danke

 dein ergebnis kommt dem am nächsten. danke

du meinst werners lösung ist eine näherungslösung? vielleicht ist die rechnung in deinem link falsch?! zeig doch mal den link

"Jeder Würfel muß in genau derselben
x,y,z - Ausrichtung  wieder eingefügt werden.
"

Das ist nicht richtig. Die einfach gefärbten Seitenmittenwürfelchen können um ihre senkrecht auf der Farbseite stehende Symmetrieachse gedreht werden.

Werner hat das ja mit beachtet

"Bei den 6 Mittensteinen in den Flächen ist es egal, wie sie um die Flächennormale rotert sind - sind 4^6 Möglichkeiten"

Ja, ich wollte es noch einmal mit anderen Worten formulieren! :-)

Bzw. nochmal georgborn darauf hinweisen das da etwas war, was man nicht so einfach ignorieren sollte.

Denn Werner hat das ja absolut richtig auf 2 verschiedenen Wegen vorgemacht.

Ja, so ist es.

Bedenken wir weiter, "...dass alle Farben [also nicht die Nichtfarbe 'Schwarz'] nach außen zeigen" sollen, kommen wir zu einem anderen Ergebnis.

Genau das habe ich ja gestern schon angemerkt (hat MF bloß nicht verstanden).

Genau das habe ich ja gestern schon angemerkt (hat MF bloß nicht verstanden). 

wo?

0 Daumen

Es wurden 27 Würfel erzeugt.

Die Wahrscheinlichkeit das ein Würfel
beim Zusammensetzen wieder an dieselbe
Stelle kommt ist 1 / 27.
Das alle 27 Würfel an die ihre Ausgangsstelle
kommen ist 1/27 ^(27)

Soweit eine erste Einschätzung.

Da manche Würfel identisch sind könnte
man dies auch berücksichtigen
z.B. die acht Eckwürfel usw.

Beantwortet von 72 k

Da macht es sich jemand aber sehr leicht ... such mir lieber den link raus.

Da alle 27 Würfel unterschiedliche Farbmarkierungen
haben / unterschiedlich sind bleibt es bei meiner Einschätzung.

such mir lieber den link raus

1. Stell du lieber dein Problem so dar, dass es eindeutig ist.

2. Zum Link-Suchen bedarf es ja keiner besonderen mathematischen Qualifikation, warum schaffst du das also nicht selber ?

Was hast du denn nicht verstanden hajott?

ich ahbe den link gefunden.

0 Daumen
Beantwortet von

geht es auch präziser? erklärungen oder sowas? das war ja mal nix.

Soll ich dir vorlesen oder kannst du das allein? Kannst du lesen?

Ein Zauberwürfel ist etwas ganz anderes. Dort kann ein Eckstein nur an einer Ecke auftreten und ein Mittelstein der Seitenfläche nur in der Mitte einer Seitenfläche.

Weiterhin kann man z.B. bei einem Zauberwürfel nicht jeden kleinen Würfel unabhängig von den anderen beliebig drehen.

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage sofort und kostenfrei

x
Made by Matheretter
...