Generelle Beschränkung von Funktionen prüfen

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Hi,

a)

Anschaulich:

Die e-Funktion ist ja nicht beschränkt:

f₁(x) = e^x

Durch das Minus im Exponenten spiegelst du die e-Funktion lediglich an der y-Achse:

f₁(x) = e^-x

Das Minus vor der gespiegelten e-Funktion sorgt lediglich dafür, dass der Graph an der x-Achse gespiegelt wird:

f₁(x) = -e^-x

Formal:

Nehmen wir an, die Funktion wäre beschränkt, d.h. es gibt ein K ∈ ℝ mit

$|-e^{-x}| \le K \ \forall x \in \mathbb{R}$

Wähle x = - ln(K+1). Wir erhalten:
$|-e^{-x}|=e^{-x}=e^{-(- ln(K+1))}=K+1 \le K$

Das ist offensichtlich falsch, weswegen die Funktion nicht beschränkt ist.

d)

Anschaulich:

Der Sinus ist beschränkt durch 1:

f₁(x) = sin(x)

Durch das Quadrieren wird jeder Wert ja einfach quadriert:

f₁(x) = (sin(x))²

Offensichtlich ist die Funktion also beschränkt:

Formal:

Es gilt:

Die Funktion ist also beschränkt durch die Konstante 1.

Versuche mal die anderen nun selbst.

Beantwortet 30 Dez 2017 von Bruce Jung

Ein anderes Problem?

Gast jc2144 · Answer 1 · 2017-12-30T14:25:25+0000

zu c) :

die Funktion ist Achsen symmetrisch, daher gelten nachfolgende Überlegungen auch für x<0.

Für x>=1 ist |sin(x)/x|<|sin(x)| , also beschränkt.

Für x ∈ (0,1] ist die Funktion stetig, zusätzlich gilt lim x -->0 sin(x)/x =1 .

Also ist die Funktion auch beschränkt auf [0,1].