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Hallo :)

Aufgabe: Die Funktion fk(x)=0,0001*x^3-0,018k*x^2+0,72k*x beschreibt für k>0 und x ∈(0;120) die momentane Änderungsrate der Länge einer Warteschlange am Eingang eines Museums in

blob.png

Personen pro Minute (x in Minuten). Zum Zeitpunkt x=0 (10Uhr) stehen 100 Personen in der Schlange. Der Graph für k=3 ist in Fig.1 dargestellt.

a) steht im Titel und ich weiß gar nicht wie ich vorgehen soll. Wir haben Funktionenscharen nicht wirklich behandelt, deshalb verstehe ich die Aufgabe nicht ganz.

b) Berechnen Sie, zu welchem Zeitpunkt die Schlange am längsten ist.

Hier würde ich den Hochpunkt der Funktion ausrechnen.  Ich habe versucht die Ableitung zu bilden, aber sie ist falsch und ich weiß wegen k nicht wie ich sie richtig ableiten soll.

c) Zeigen Sie: Die Schlange ist nach 120 Minuten wieder genauso lang wie am Anfang.  (Dazu steht im Buch als Lösung Integral von 0 bis 120, würde aber gerne wissen, warum man das hier so ausrechnet?)

Wäre hilfreich für meine mündliche Prüfung, wenn ihr die Aufgabe ausführlich beantworten könnt. Bitte nicht einfach die Lösung hinschreiben, denn das hab ich schon. Ich muss die Aufgabe verstehen.

Vielen Dank im Voraus.

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Gefragt von

fk(x)=0,0001*x^3-0,018k*x^2+0,72k*x
bei dir in der Fragestellung fehlt ein " k ".
fk(x)=0,0001k*x^3-0,018k*x^2+0,72k*x

oh hab ich übersehen :o danke

So, ich habe mir mal erlaubt, das Bild zu drehen. Das Beschneiden auf das Wesentliche erspare ich mir.

2 Antworten

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Beste Antwort

Ich gehe einmal nicht auf den Sachzusammenhang
ein sondern beschränke mich auf die Frage
f := 0.0001 * k * x^3 - 0.018*k * x^2 + 0.72*k * x

Zeigen Sie das die Extremwerte der Kurvenschar
unabhängig von k sind.
Graphen von k=1, 2 , 3

gm-37a.JPG
Extremwert : 1.Ableitung = 0
f ( x ) = 0.0001 * k * x^3 - 0.018*k * x^2 + 0.72*k * x
f ( x ) = k * ( 0.0001 * x^3 - 0.018 * x^2 + 0.72 * x )
f ´( x ) = k * ( 0.0003 * x^2 - 0.036 * x + 0.72 )
Stellen mit waagerechter Tangente
0.0003 * x^2 - 0.036 * x + 0.72 = 0
Man kann diese Stellen jetzt ausrechnen.
Es kommt aber kein k mehr vor.
k spielt keine Rolle für die Lage der Extremstellen.

Falls du weitere Fragen hast oder Erklärungen
benötigst dann melde dich wieder.

Beantwortet von 77 k

Dankeschön, endlich eine vernünftige Antwort :)

Anhand ihrer Abbildung erkennt man eigentlich, dass die Extremwerte der unterschiedlichen k Werte schwanken. Dann können sie doch gar nicht unabhängig von k sein oder?

Jetzt mußt du genau lesen :
In der Frage heißt es :
zeigen sie das die x-Koordinaten der Extremwerte...
dieselben sind.
Wie die Grafik zeigt sind die x-Stellen dieselben,
die Funktionswerte f ( x ) sind unterschiedlich.

So ganz pingelig : der Fragetext ist auch schon falsch.
Es muß x-Stelle oder
( x | y ) Koordinaten heißen.

Beispiel
( 3 | 4 )
x = 3 ( Stelle , ein Wert )
( 3 | 4 ) Koordinaten ( zwei Werte )

x-Koordinaten ist falsch.

So ganz pingelig : der Fragetext ist auch schon falsch.
Es muß x-Stelle oder
( x | y ) Koordinaten heißen.

Beispiel
( 3 | 4 )
x = 3 ( Stelle , ein Wert )
( 3 | 4 ) Koordinaten ( zwei Werte )

x-Koordinaten ist falsch.

Die Bezeichnung "x-Koordinate" ist durchaus geläufig und völlig richtig!

ok Vielen Dank @georgborn! Jetzt habe ich es verstanden :)

Gern geschehen.
Falls du weitere Fragen hast dann stelle
sie wieder ein.

Um die Unabhängigkeit der Extremstellen der f_k von k zu zeigen, genügt es, k auszuklammern und einen Blick auf das Ergebnis zu werfen:

f_k ( x ) = k * ( 0.0001 * x^(3) - 0.018 * x^(2) + 0.72 * x )

Die Extremstellen von f_k finden sich unter den Nullstellen der Ableitung der Klammer und die enthält kein k.

Die Ableitung muss also gar nicht erst bestimmt werden.

Diese Überlegung dürfte auch der Lösungsweg sein, den der Konstrukteur der Aufgabe erwartet hat.

@Gast az0815 dankeschön! Genau das mit Ausklammern hat mir auch ein Mitschüler vorgeschlagen.

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fk(x)=0,0001*x3-0,018k*x2+0,72k*x Extrempunkte sind Nullstellen der ersten Ableitung. Diese findet man genauso,wie wenn an der Stelle von k eine Zahl stünde:

f 'k(x)=0,0003*x2-0,036k*x+0,72k

Die Lösungen der quadratischen Gleichung 0)=0,0003*x2-0,036k*x+0,72k hängen selbstverständlich von k ab.Da kann man das Gegenteil nicht zeigen.

Beantwortet von 37 k

Erstmal danke :)

In den Lösungen steht jedoch bei a), dass der Graph der Funktion für x=60+√1200≈94,64 einen Tiefpunkt und für x=60-√1200≈25,36 einen Hochpunkt hat. Diese Koordinaten hängen nicht von k ab.

Ich verstehe nicht, wie die Lösungen das dadurch erklären können. Können Sie vlt drauf eingehen?

hat sich durch Überschneidung erledigt

Wie Überschneidung?

Die Beiträge von hj2166 sind oft rätselhaft. Er wird deine Nachfrage ignorieren.

Es sind vielleicht nicht die Extrema von fk(x) gemeint.

Der ursprüngliche Kommentar lautete "R. weigert sich, ein fehlendes k selbständig zu ergänzen." und sollte auf den vergessenen Faktor im ersten Summanden aufmerksam machen. Dessen Fehlen und eine entsprechende Korrektur waren aber während ich den Kommentar schrieb (daher "Überschneidung") bereits von GB. angemerkt worden.
Mein Kommentar war also nicht mehr erforderlich.

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