0 Daumen
2,6k Aufrufe

ich habe versucht bei folgender Funktion ein Muster in den ersten 5 Ableitungen zu erkennen, aber leide komme ich nicht weiter und benötige die n-te Ableitung, um die Taylorreihe zu bestimmen.

ques10.PNG

Bestimmen SIe die n-te Ableitung von f(x) = 1 / (1-2x) für alle n Element No

Avatar von

2 Antworten

+2 Daumen

f(x) = 1 / (1 - 2x)

f'(x) = 2 * 1/(1 - 2·x)2

f''(x) = 22 * 2 * 1/(1 - 2·x)3

f'''(x) = 23 * 2 * 3 * 1/(2·x - 1)4

fn(x) = 2n * n! * 1/(2·x - 1)^(n + 1)

Avatar von 493 k 🚀
+1 Daumen

Bestimmen SIe die n-te Ableitung von f(x) = 1 / (1-2x) für alle n Element No

f(x) = (1-2x)^(-1)

f '(x) = (-2) *(-1) (1-2x)^(-2) =  (2) *(1) (1-2x)^(-2)

f '' (x) = (-2)2 (-1) (-2) * (1-2x)^(-3) =  (2)2 (1) (2)* (1-2x)^(-3)

f '''(x) = (-2)3  *(-1)(-2)(-3) (1-2x)^(-4) =  (2)3  *(1)(2)(3) (1-2x)^(-4) =  (2)3  *3! (1-2x)^(-4)

Allgemeine Vermutung

f (n) (x) = (2)n *n! * (1-2x)^(-n-1)

Avatar von 162 k 🚀

wie bestimmt man den Konvergenzradius T[f,0](x) für diese Reihe .

f(n) (x) = (-2)n * (1-2x)^(-n-1) 

Hallo Lu, du hast bei der äußeren Ableitung die Faktoren (-3), (-4) usw. vergessen, siehe Mathecoach.

ab98, wenn du das Ergebnis von Mathecoach nimmst, dann ist

f(x)= Summe (n=0 bis unendlich)

2n * n! *(1-2*0)n-1 *xn /n!

=Summe (n=0 bis unendlich)

2n xn

= Summe (n=0 bis unendlich) (2x)n

Siehe meine Antwort bei deiner anderen Frage.

@jc2144: Danke. Nun sind die viele Minus schön weggefallen. Und der Rest hat sich dank deiner Antwort bei der andern Frage von ab98  bestimmt auch erledigt.

oder auch bei https://www.mathelounge.de/639965/bestimmen-sie-die-te-ableitung-von…

Ergänzung:

Die vorgegebene Funktionsgleichung erinnert doch sehr stark an die Summenformel der geometrischen Reihe mit q=2x.

Somit kann f(x) auch in der Form 1+2x+(2x)²+(2x)³ + ...

dargestellt werden. Das hilft zwar nicht unbedingt für die n-te Ableitung, aber es ist für eine Taylorreihe hilfreich.

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage