a)
f(x) = a·x^3 + b·x^2 + c·x + d
Die mathematischen Bedingungen lauten:
f(0) = 4
f(10) = 10
f'(10) = 0
f(40) = 10
Die Gleichungen lauten:
d = 4
1000·a + 100·b + 10·c + d = 10
300·a + 20·b + c = 0
64000·a + 1600·b + 40·c + d = 10
Daraus ergibt sich die Lösung: a = 0.0015 ∧ b = -0.09 ∧ c = 1.35 ∧ d = 4
f(x) = 0.0015·x^3 - 0.09·x^2 + 1.35·x + 4
f'(x) = 0.0045·x^2 - 0.18·x + 1.35
b)
g(x) = a·x^2 + b·x + c
Die mathematischen Bedingungen lauten
g(40) = 10
g'(40) = 0
g(50) = 0
Die Gleichungen lauten
1600·a + 40·b + c = 10
80·a + b = 0
2500·a + 50·b + c = 0
Daraus ergibt sich die Lösung: a = -0.1 ∧ b = 8 ∧ c = -150
g(x) = -0.1·x^2 + 8·x - 150
g'(x) = -0.2·x + 8
c)
Tiefpunkt f'(x) = 0
f'(x) = 0.0045·x^2 - 0.18·x + 1.35 = 0 --> x = 30 m
h(0) = 14 m
h(30) = 14 m
d)
f'(0) = 1.35 = 135% --> α = ATAN(1.35) = 53.47°
f'(40) = 1.35 = 135% --> α = ATAN(1.35) = 53.47°
g'(50) = -2 = -200% --> α = ATAN(2) = 63.43°
e)
TAN(40°) = 0.8391
f'(x) = ±0.8391
0.0045·x^2 - 0.18·x + 1.35 = 0.8391 --> x = 3.075 m ∨ x = 36.925 m
0.0045·x^2 - 0.18·x + 1.35 = -0.8391 --> keine Lösung
g'(x) = ±0.8391
-0.2·x + 8 = -0.8391 --> x = 44.196 m
Damit sind folgende Bereiche schwer begehbar: [0; 3.075], [36.925; 40], [44.196; 50].