Quadratische Funktionen - Bestimmung der Gleichungen der Tangenten der Normalparabel, die ...

Question

Bestimmen Sie die Gleichungen der Tangenten der Normalparabel, die durch den Punkt P gehen, und berechnen Sie jeweils die Koordinaten des Berührpunktes.

P = (0/-3)

Wie rechnet man sowas und wie kommt man auf die Lösung?

Answer 1

Sei der Berührpunkt bei B(x | f(x)), dann ist die Steigung zwischen B und P gleich der Steigung im Punkt B. Formal gilt dann:

(f(x) - (-3))/(x - 0) = f'(x)
(x² + 3)/x = 2·x
x² + 3 = 2·x²
3 = x²
x = ± √3

Die Berührpunkte lauten dann

B1(√3 | 3) sowie B2(- √3 | 3)

Damit lauten die Tangentengleichungen

t1(x) = f'(√3)·(x - √3) + f(√3) = 2·√3·x - 3
t2(x) = - 2·√3·x - 3 (aus Symmetriegründen)

Answer 2

f(x) =x² ,  f '(x) = 2x

Wenn x₀ die Berührstelle der gesuchten Tangente ist, dann geht diese durch den Punkt P(0|-3) und hat die Steigung   m = f '(x₀) = 2x₀

Nach der Punkt-Steigungsformel hat die Tangente die Gleichung:

y = m * (x - x_p) + y_p

y = 2x₀ * (x - 0) - 3 =

Jeder  Berührpunkt  B(x₀ | y₀) = (x₀ | x₀²)  liegt auf der Tangente:

x₀² = 2x₀ * x₀ - 3  ⇔  x₀² = 3  ⇔  x₀ = ± √3 

Tangenten:  y = ± 2*√3 * x - 3

Gruß Wolfgang

Answer 3

Bestimmen Sie die Gleichungen der Tangenten der Normalparabel, die durch den Punkt P $P (0|-3)$ gehen, und berechnen Sie jeweils die Koordinaten des Berührpunktes.

Weg ohne Differenzierung:
Geradenschar durch $P (0|-3)$ :

$\frac{y+3}{x-0} =m$  →$y =mx-3$ Diese Gerade nun mit der Normalparabel $y=x^2$ schneiden:

$x^2=mx-3$

$x^2-mx=-3$

$(x-0,5m)^2=-3+0,25m^2|±\sqrt{~~}$

$x-\red{0,5m}=±\sqrt{-3+0,25m^2}$

Bei Tangenten wird die Diskriminante $-3+0,25m^2=0$

$m^2=12$  

$m_1=2\sqrt{3}$

Berührpunkt:

$x_1=\red{0,5}\cdot 2\sqrt{3}=\sqrt{3}$    $y_1=3$

Tangente:

$y =2\sqrt{3}x-3$

Analog die 2. Tangente und Berührpunkt.

Comments

Noch ein Weg 'ohne Differenzierung':

Trage den Brennpunkt $F=(0|\,0,25)$ der Parabel ein. Zeichne den Kreis mit Durchmesser $\overline{PF}$. Die Tangenten sind die Geraden durch $P$ und jeweils einem der Schnittpunkte des Kreises mit der X-Achse.

der Punkt $P$ lässt sich mit der Maus verschieben.